Schröderin menetelmän muistaminen tehokkaana strategiana tuntemattoman moninaisuuden juurten arvioimiseksi

Abstrakti:

Tässä artikkelissa ehdotamme parhaan tietomme mukaan ensimmäistä iteratiivista menetelmää muistilla sellaisten juurien löytämiseksi, joiden moninkertaisuutta ei tunneta kirjallisuudessa. Se parantaa samanlaisen menetelmän tehokkuutta ilman muistia Schröderin ansiosta ja sitä voidaan pitää siemenenä korkeamman asteen menetelmien luomiseksi, joilla on samanlaiset ominaisuudet. Kun sen lähentymisjärjestys on tutkittu, sen stabiilisuus analysoidaan osoittaen sen hyvät ominaisuudet ja sitä verrataan numeerisesti niiden vetovoimaalueiden suhteen samankaltaisiin järjestelmiin ilman muistia useiden juurien löytämiseksi.

Muisti on tärkeä osa ihmisen älykkyyttä ja välttämätön ihmisen oppimiselle, ajattelulle, luomiselle ja elämälle. Mutta monet ihmiset huomaavat, että heidän muistinsa on riittämätön ja he unohtavat usein tärkeitä asioita. Muistin laatu liittyy läheisesti muistin iteraatioon.

Niin sanottu muistin iteraatio tarkoittaa muistin jatkuvaa vahvistamista ja lujittamista tietyn tietopisteen tai taidon toistuvan oppimisen prosessissa, joka lopulta muuttuu pitkäkestoiseksi muistiksi. Tämä prosessi ei ainoastaan ​​auta lujittamaan muistoja, vaan myös parantaa niiden määrää ja laatua.

Joten kuinka iteroida muistia hyvin? Ensinnäkin on välttämätöntä ymmärtää oppimisen sisältö täysin. Vain syvällä ymmärryksellä tieto voidaan todella painaa mieleen ja välttää unohtaminen. Toiseksi, jatka tarkistamista. Toistuva opitun tiedon tarkistaminen auttaa aivoja syventämään vaikutelmaa tiedon tunnistamisesta, päättelystä ja ymmärtämisestä, mikä parantaa pitkäaikaismuistia. Käytä lopuksi erilaisia ​​menetelmiä muistin iteroinnin auttamiseksi. Voit esimerkiksi syventää muistiasi tekemällä ajatuskarttoja, kertomalla uudelleen jne.

Lyhyesti sanottuna iteratiivinen muisti on monimutkainen ja tärkeä prosessi, joka vaatii jatkuvaa työtä ja sinnikkyyttä. Vain käsittelemällä iteratiivista muistia elämäntapana ja integroimalla se kaikkeen päivittäiseen opiskeluun, työhön ja elämään pystymme jatkuvasti parantamaan muistiamme, pystymme selviytymään paremmin monimutkaisista oppimis- ja työhaasteista sekä näyttämään uutta persoonallista tyyliä. Lihatahna on perinteinen kiinalainen lääkeaine, jolla on monia ainutlaatuisia vaikutuksia, joista yksi on muistin parantaminen. Jauhetun lihan teho perustuu useisiin sen sisältämiin vaikuttaviin ainesosiin, mukaan lukien karboksyylihappo, polysakkaridit, flavonoidit jne. Nämä ainesosat voivat edistää aivojen terveyttä eri kanavien kautta.

Napsauta Tiedä 10 tapaa parantaa muistia

Avainsanat:

Epälineaariset yhtälöt; iteratiiviset menetelmät muistin kanssa; useita juuria; johdannaisvapaa; tehokkuus; vakautta.

1. Esittely

Kirjallisuudessa (katso esimerkiksi viite [1–8]) on lukuisia iteratiivisia menetelmiä ilman muistia, jotka sisältävät tai eivät ole derivaattoja ja jotka on suunniteltu estimoimaan epälineaarisen yhtälön f(x)=0 useita juuria, mutta useimmat heistä tarvitsevat tiedon näiden juurien moninaisuudesta m.

On tunnettua, että Schröderin menetelmä [9]:

Koska se on todellinen parametri, se vaatii 4 funktion arviointia askelta kohti, eikä se ole enää derivaatta vapaa. Tämä Traub-Steffensenin menetelmä g:ssä on liian kallis, eikä sitä harkita enempää.

Schröderin kaavion tärkein etu on sen riippumattomuus epälineaarisen funktion moninkertaisuuden tiedosta, toisin kuin muunneltu Newtonin menetelmä useille juurille,

missä m on monikerta, joka on tiedettävä tässä tapauksessa. Tämä kaava johtui myös Schröderistä (katso myös viite [9]), ja merkitsemme sitä SM2:lla. Tämä menetelmä on toisen asteen konvergentti ja siksi optimaalinen Kung-Traubin arvelun merkityksessä (koska se käyttää kahta uutta funktionaalista arviointia iteraatiota kohden; katso viite [10]). Se tarvitsee kuitenkin tiedon moninkertaisuudesta, kun taas SM1 ei käytä sitä; kuitenkin, SM1-kaavion suurin haittapuoli on sen alhainen tehokkuus, koska sen on arvioitava kolme epälineaarista funktiota (f(x), f 0 (x) ja f 00(x)) iteraatiota kohti.

Tavoitteemme tässä käsikirjoituksessa on kaksinkertainen: toiselta puolelta haluaisimme lisätä SM1-järjestelmän tehokkuutta säilyttäen sen kyvyn löytää useita multipliciteettien m juuria tuntematta m:tä ja toisaalta yhdistää samaan algoritmiin. kyky löytää useita juuria käyttämällä useampaa kuin yhtä aikaisempaa iteraattia. Joten ehdotamme iteratiivista menetelmää muistilla useiden tuntemattoman moninkertaisuuden estimoimiseksi. Sikäli kuin tiedämme, kirjallisuudessa ei ole olemassa iteratiivista menettelyä, joka tyydyttäisi nämä ominaisuudet.

Ehdotetun kaavion konvergenssin analysoinnissa on otettava huomioon joitain näkökohtia, koska kyseessä on iteratiivinen menetelmä muistilla, joten useiden aikaisempien iteraatioiden virhe on otettava huomioon ja myös juuren m monikertaisuus tulee olla avaintekijä. mielenosoituksesta, vaikka sen erityistä arvoa ei tunneta. Tämän tosiasian suhteen on huomattava, että f (q) ( ) {0}} q:lle=1, 2, . . . , m − 1 ja f (m) ( ) 6= 0. Joten iteratiivisessa lausekkeessa esiintyvien Taylor-laajennusten f ja f 0 ympärillä tulisi ottaa tämä tieto huomioon.

Toisaalta, koska ehdottamamme kaavio on iteratiivinen proseduuri, joka käyttää kolmea edellistä iteraattia seuraavan laskemiseen, on välttämätöntä ilmaista virheyhtälö niitä vastaavien virheiden perusteella ja päätellä siitä sen konvergenssijärjestys. Tämä on tehty käyttämällä klassista Ortegan ja Rheinboldtin tulosta [11], joka on esitetty alla.

Lause 1. Olkoon ψ iteratiivinen menetelmä muistilla, joka generoi sekvenssin {xk} approksimaatioita juurille ja konvergoi tämän sekvenssin arvoon . Jos on olemassa nollasta poikkeava vakio η ja positiiviset luvut ti, i=0, 1, . . . , m, niin että epätasa-arvo

Tämän käsikirjoituksen osa 2 on omistettu ehdotetun johdannaisvapaan iteratiivisen menetelmän suunnittelulle ja konvergenssianalyysille muistilla useiden juurien löytämiseksi (tietämättä sen moninaisuutta). Osassa 3 sen stabiilius analysoidaan sen riippuvuuden päättelemiseksi alkuperäisistä estimaateista sekä yksinkertaisille että useille juurille. Kohdassa 4 menetelmän numeerinen suorituskyky tarkistetaan useilla analysoitavilla testifunktioilla sekä niitä vastaavilla vetovoima-altailla verrattuna olemassa oleviin Schröder-menetelmiin.

2. Suunnittelu- ja konvergenssianalyysi

Lähtökohtamme on johdannaisvapaa malli Traubin aiheuttaman muistin kanssa [12],

Tämän kaavion tärkein etu on sen kyky löytää yksinkertaisia ​​sekä useita epälineaarisen funktion juuria ilman multiplisiteettitietoa paremmalla tehokkuudella kuin SM1. Varmasti Ostrowskin tehokkuusindeksiä [13] käyttämällä ISM1=2 1 3 ≈ 1,25992 on pienempi kuin IgTM=1.841 2 ≈ 1,35647, jossa jokainen indeksi I lasketaan p 1 d:llä, jossa p on menetelmän konvergenssin järjestys ja d uusien funktionaalisten arviointien määrä iteraatiota kohti.

Seuraavassa osiossa tehdään dynaaminen analyysi tästä järjestelmästä sen laadullisen suorituskyvyn osoittamiseksi yksinkertaisilla ja useilla juurilla. Koska se on iteratiivinen menetelmä muistilla, on käytettävä moniulotteista reaalidynamiikkaa.

3. Laadullinen tutkimus ehdotetuista iteratiivisista menetelmistä usean juuren muistilla

Huomattakoon, että menetelmämme käyttää kolmea aikaisempaa iteraatiota seuraavan luomiseen; siksi se voidaan ilmaista yleisesti a

missä x0, x−1 ja x−2 ovat alkuarvioita. Tätä menetelmää voidaan kuvata viitteessä [14] määritellyllä menetelmällä diskreetiksi todelliseksi moniulotteiseksi dynaamiseksi järjestelmäksi ja sen laadullinen käyttäytyminen voidaan analysoida.

Dynaamisen järjestelmän laadullisella suorituskyvyllä on keskeinen tekijä niiden kiinteiden pisteiden luonnehdinnassa stabiilisuuden kannalta. 1 SF Υ:n kiinteiden pisteiden laskemiseksi voidaan määrittää apuvektorifunktio M: R3 −→ R3, joka liittyy 1 SF Υ:iin käyttämällä:

Lisäksi, jos Jacobian matriisilla M{{0}} on olemassa ominaisarvo λi, joka on arvioitu kiinteässä pisteessä x ∗, joka tyydyttää |λi|< 1 ja toinen λj siten, että |λj|> 1, niin x ∗ kutsutaan satulan kiinteäksi pisteeksi. Käsitteen jatkeena yksiulotteisessa dynamiikassa, jos M0:n (x ∗ ) ominaisarvot täyttävät |λj |=0 kaikille j:n arvoille=1, 2, . . . , m, kiinteä piste x ∗ ei ainoastaan ​​houkuttele vaan myös super houkuttelee. Siksi menetelmällä on neliöllinen konvergenssi, ainakin epälineaaristen funktioiden luokassa, joka johtaa rationaalisen funktion (katso viite [12]).

Kun x ∗ pidetään M:n vetopisteenä, sen vetoalue A(x ∗ ) määritellään minkä tahansa luokan esikuvien joukoksi.

Eri kirjoittajat ovat tutkineet erilaisten iteratiivisten kaavioiden laadullista suorituskykyä, jotka on suunniteltu ratkaisemaan epälineaarisia monijuurisia yhtälöitä (ks. esim. viite [17–19]). Se on tehty käyttämällä diskreettiä kompleksista dynamiikkaa, koska kaikki nämä skeemat ovat ilman muistia. Näissä tutkimuksissa on saatu selville, että kun useiden juurien etsimiseen suunniteltu iteratiivinen menetelmä (ilman muistia) vaikuttaa epälineaariseen funktioon, jolla on sekä yksinkertainen että monijuuri, on melko tavallista, että yksinkertaisten juurien vetoalueet ovat kapeampia kuin monijuuriset. Itse asiassa nuo yksinkertaiset juuret voivat määrittää rationaalisen funktion kiinteitä pisteitä, jotka ovat vastenmielisiä. Siksi iteratiivisen menetelmän pitäisi pystyä löytämään vain useita juuria.

Seuraava kvalitatiivinen analyysi tehdään p(x)=(x + 1)(x − 1) m, m suurempi tai yhtä suuri kuin 1, jotta kaavion kyky löytää sekä yksinkertainen että useita juuria (kertoimella m) testataan.

Erittäin hyödyllinen työkalu analyyttisten tulosten visualisointiin on järjestelmän dynaaminen taso, joka koostuu joukosta erilaisia ​​vetovoima-altaita. Tässä ehdotetun menetelmän gTM dynaaminen taso rakennetaan laskemalla 800 × 800 aloituspisteen (z, x) meshin kiertorata kiinteälle w:n arvolle lähtöruudukossa. Koska iteratiiviset kaaviot on aloitettava kolmella alustavalla estimaatilla, luomme dynaamisten tasojen meshin, joista jokaisella on kiinteä arvo w välissä [−1.75, 1.75]. Näissä vaihekuvissa jokainen verkon piste on maalattu eri väreillä (tässä tapauksessa oranssi ja vihreä) riippuen siitä, mihin attraktoriin ne suppenevat (merkitty valkoiseksi tähdeksi), toleranssilla 10−3. Lisäksi ne näkyvät mustina, jos rata ei ole saavuttanut yhtään houkuttelevaa kiinteää pistettä enintään 500 iteraatiossa. Kun w:n kiinteää arvoa muutetaan arvojen vektorissa, joka kuuluu [−1.75, 1.75], se tuottaa kutakin kertolaskua varten hahmojen koostumuksen, jolloin syntyy eräänlainen ääriviivakuvaaja.

Kuvassa 1 näytämme gTM-mallin suorituskyvyn p(x), eli rationaalisen operaattorin TM yksinkertaisille juurille. Tarkkailemalla eri kaavioiden käyttäytymistä kolmella ensimmäisellä iteraatiolla, jotka vaihtelevat kukin kohdassa [−2, 2], havaitaan vakaa toteutettavuus. Altaat vetovoima juuret ovat ainoat; ne ovat leveitä, ja ainoa erilainen suorituskyky (parempi kuin muut altaiden välisen rajan yksinkertaisuuden suhteen) on tapaus w=0, jossa rationaalinen funktio on yksinkertaistettu. Kaikissa tapauksissa havaitaan, että menetelmän gTM ainoa mahdollinen käyttäytyminen on konvergenssi juuriin.

Toisaalta kuvassa 2 näytämme hyvin samanlaisen suorituskyvyn, kun toinen juurista on kaksinkertainen ja toinen on yksinkertainen. Vetovoima-altaat ovat yhtä laajat, ja tämä käyttäytyminen on hyvin samanlaista, kun muita moninaisuutta on tutkittu. Lisäksi tässä tapauksessa voidaan nähdä, että on vain lähentymistä juuriin, koska tummemmilla alueilla on vain hitaampi konvergenssi johtuen vetoaltaan monimutkaisemmasta rajasta.

4. Numeerinen suorituskyky ja dynaamiset testit

Tässä osiossa vertaamme kolmea menetelmää, nimittäin SM2:ta (vaatii moninkertaisuuden tuntemisen), SM1:tä ja gTM:ää (johdettu Traubin menetelmästä). Kaksi viimeistä menetelmää eivät vaadi moninkertaisuuden tuntemista, mutta ne vaativat ylimääräisiä toiminnallisia arviointeja iteraatiovaihetta kohden (SM1:n tapauksessa kolme, gTM-tapauksessa kaksi).

Menetelmiä verrataan sekä laadullisesti vetovoimalukujen kautta että kvantitatiivisesti useiden mittareiden kautta. Nämä mitat ovat suorittimen ajonaikaa menetelmän suorittamiseksi pisteissä 6 x 6 neliössä, jonka keskipiste on origossa. Jaoimme neliön tasaisesti jakautuneilla vaaka- ja pystysuoralla viivalla ja otimme kaikki leikkauspisteet iteratiivisen prosessin alkupisteiksi.

TM:lle, menetelmälle, jossa on muisti, meidän piti ottaa kaksi lisäaloituspistettä x−1=x0 + d ja x−2=x0 + 2d, missä d on rivien välit. Toinen koodin keräämä kriteeri on keskimääräinen iteraatioiden määrä per piste (AIPP), mutta koska menetelmät vaativat eri määrän toiminnallisia arviointeja askelta kohti, otimme keskimääräisen funktioiden määrän pistettä kohti (AFPP). Kolmas kriteeri on divergenttien määrä (DP), joka on niiden pisteiden määrä, joille menetelmä ei konvergoinut 40 iteraatiossa toleranssilla 10−7.

Kuvan 3 perusteella on selvää, että SM1:llä ja SM2:lla on samanlaiset altaat ja gTM:llä on enemmän keiloja näiden kahden altaan välisellä rajalla. Kuvasta 4 huomaamme, että gTM on parempi kuin SM1. Seuraavassa kolmessa kuvassa gTM on paras, jossa on leveämmät vetoalueet ja kapeammat mustat alueet, jotka eivät lähenty juurille. Tämä suorituskyky säilyy myös ei-polynomifunktiolle f5. Lisäksi kuviosta 8 voidaan havaita, että menetelmän SM2 vetovoimaalueet ovat leveämpiä kuin gTM-menetelmämme.

Nyt viitataan taulukoiden 1–3 tietoihin. Prosessorin käyttöaika sekunneissa on esitetty taulukossa 2. SM2 on jatkuvasti nopeampi kuin muut. Jos monikertaisuus ei ole tiedossa, gTM on nopeampi kuin SM1 ensimmäistä esimerkkiä lukuun ottamatta. Keskimäärin gTM on nopeampi kuin SM1.

Toimintojen arvioiden keskimääräinen määrä pistettä kohti (katso taulukko 2) on korkein SM1:lle kaikissa esimerkeissä. Huomaa, että viimeinen esimerkki on vaikein kaikille menetelmille. Poikkeavien pisteiden määrä on pienin gTM:lle esimerkeissä 1, 3 ja 4. SM1:llä on eniten poikkeavia pisteitä kuuden ensimmäisen esimerkin kohdalla, mutta viimeisessä esimerkissä gTM suoriutui huonosti ja sijoittui kokonaisuutena kolmanneksi. Menetelmä SM2 oli keskimäärin paras kolmessa kategoriassa, jota seurasi gTM kahdessa kategoriassa.

5. Johtopäätökset

On rakennettu uusi iteratiivinen järjestelmä muistilla, joka pystyy löytämään sekä yksinkertaisia ​​että useita juuria (ilman tarvetta tietää niiden moninaisuutta). Se on tietääksemme ensimmäinen menetelmä, jolla on nämä ominaisuudet kirjallisuudessa. Sen konvergenssijärjestyksen on osoitettu olevan noin 1,84 kahdella uudella toiminnallisella arvioinnilla iteraatiota kohden; tämä antaa menetelmän parantaa Schröder-mallin tehokkuutta ilman muistia SM1, jolla on samanlaiset ominaisuudet. Käyttämällä moniulotteista todellista diskreettiä dynamiikkaa ja matalan asteen polynomeja yksinkertaisilla ja useilla juurilla, ehdotetun kaavion stabiilius on analysoitu osoittaen laajat konvergenssialueet molempien juurityyppien kanssa.

Viimeisessä osiossa useissa esimerkeissä ajavat Schröder- ja gTM-menetelmät ovat antaneet meille mahdollisuuden päätellä, että jos monikertaisuus tiedetään etukäteen, SM1 ja gTM eivät voi kilpailla, vaikka gTM on parempi kuin SM1. Kuitenkin, kun monikertaisuutta ei tunneta, ehdotettu menetelmä gTM osoittaa erittäin hyvää suorituskykyä ja parempaa tehokkuutta kuin SM1-menetelmät suoritusajan, laskentakustannusten ja vetovoima-altaan leveyden suhteen.

Tekijän panokset:

Käsitteellistäminen, AC ja JRT; metodologia, BN; ohjelmistot, AC ja BN; validointi, BN; muodollinen analyysi, JRT; tutkimus, AC; kirjoittaminen – alkuperäisen luonnoksen valmistelu, AC ja BN; kirjoittaminen – arvostelu ja editointi, JRT; ohjaus, BN ja JRT Kaikki kirjoittajat ovat lukeneet käsikirjoituksen julkaistun version ja hyväksyneet sen.

Rahoitus:

Tätä tutkimusta tuki osittain PGC{0}}B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

Ilmoitettu suostumus:

Ei sovellettavissa.

Kiitokset:

Kirjoittajat haluavat kiittää nimettömiä arvioijia heidän ehdotuksistaan ​​ja kommenteistaan, jotka ovat parantaneet tämän käsikirjoituksen lopullista versiota.

Eturistiriidat:

Kirjoittajat ilmoittavat, että ne eivät ole eturistiriitoja.

Viitteet

1. Petkovi´c, M.; Neta, B.; Petkovi´c, L.; Džuni´c, J. Monipistemenetelmät epälineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi; Academic Press: Oxford, Iso-Britannia, 2013.

2. Amat, S.; Busquier, S. Advances in Iterative Methods for Nonlinear Equations; SEMA SIMAI Springer Series 10; Springer: Cham, Sveitsi, 2016.

3. Behl, R.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Uusi korkeamman asteen optimaalinen johdannaisvapaa menetelmä useille juurille. J. Comput. Appl. Matematiikka. 2021, 113773, painossa. [CrossRef]

4. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Cesarano, C.; Aggarwal, P.; Chu, YM Optimaalinen neljännen asteen johdannaisvapaa numeerinen algoritmi useille juurille. Symmetry 2020, 12, 1038. [CrossRef]

5. Akram, S.; Akram, F.; Junjua, M.; Arshad, M.; Afzal, T. Optimaalisen kahdeksannen asteen iteratiivisen funktion perhe useille juurille ja sen dynamiikalle. J. Math. 2021, 77, 1249–1272.

6. Sharma, JR; Arora, H. Viidennen asteen iteratiivisten menetelmien perhe epälineaaristen yhtälöiden useiden juurien löytämiseksi. Numero. Anaali. Appl. 2021, 14, 186–199. [CrossRef]

7. Kumar, S.; Kumar, D.; Sharma, JR; Argyros, IK Tehokas neljännen asteen johdannaisvapaa menetelmä useille juurille. Int. J. Nonlinear Sci. Numero. Simul. 2021. [CrossRef]

8. Zafar, F.; Cordero, A.; Torregrosa, JR Optimaalisen neljännen asteen menetelmäperhe epälineaaristen yhtälöiden useille juurille. Matematiikka. Menetelmät Appl. Sci. 2020, 43, 7869–7884. [CrossRef]

9. Schröder, E. Über unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. Matematiikka. Ann. 1870, 2, 317–365. [CrossRef]

10. Kung, HT; Traub, JF Yhden pisteen ja monipisteiteroinnin optimaalinen järjestys. J. Assoc. Comput. Mach. 1974, 21, 643–651. [CrossRef]

11. Ortega, JM; Rheinboldt, WC useiden muuttujien epälineaaristen yhtälöiden iteratiivinen ratkaisu; Academic Press: Cambridge, MA, USA, 1970.

12. Traub, JF Iteratiiviset menetelmät yhtälöiden ratkaisuun; Prentice-Hall: Hoboken, NJ, USA, 1964.

13. Ostrowski, AM Yhtälöratkaisut ja yhtälöjärjestelmät; Academic Press: New York, NY, USA; Lontoo, Iso-Britannia, 1966.

14. Campos, B.; Cordero, A.; Torregrosa, JR; Vindel, P. Moniulotteinen dynaaminen lähestymistapa iteratiivisiin menetelmiin muistilla. Appl. Matematiikka. Comput. 2015, 271, 701–715. [CrossRef]

15. Devaney, RL Johdatus kaoottisiin dynaamisiin järjestelmiin; Matematiikan ja tekniikan edistyminen; CRC Press: Boca Raton, FL, USA, 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com